Хвост распределения
 | В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
Хвост распределе́ния — участок графика плотности статистического распределения [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], отвечающий стремлению непрерывной случайной величины [math]\displaystyle{ x }[/math] к плюс или минус бесконечности и в целом характеризующийся уменьшением значений [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] с ростом [math]\displaystyle{ |x| }[/math], на которое могут накладываться особенности. Форма фигуры, ограничиваемой указанным участком и осью абсцисс, напоминает вытянутый хвост животного. Граница хвоста [math]\displaystyle{ x_{L|R} }[/math] выбирается субъективно. Под хвостом понимается также диапазон изменения [math]\displaystyle{ x }[/math], соответствующий хвосту в графическом смысле (то есть [math]\displaystyle{ [x_R;\,+\infty) }[/math] или [math]\displaystyle{ (-\infty;\,x_L] }[/math]). Если величина [math]\displaystyle{ x }[/math] изменяется в конечных пределах, то хвостов у [math]\displaystyle{ f }[/math] нет.
При больших по модулю значениях величины [math]\displaystyle{ x }[/math] плотность распределения [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] во многих практических ситуациях спадает по экспоненциальному закону [math]\displaystyle{ f(x)\sim \exp(-a|x|) }[/math] или быстрее (здесь [math]\displaystyle{ a = \, }[/math]const > 0). Например, для [math]\displaystyle{ x\to \pm\infty }[/math] при нормальном распределении и при [math]\displaystyle{ x\to +\infty }[/math] для распределения Максвелла убывание [math]\displaystyle{ f }[/math] происходит как [math]\displaystyle{ f(x)\sim \exp(-a\,x^2) }[/math]. Но встречаются и ситуации так называемых «тяжёлых» хвостов, когда спад идёт медленнее, чем [math]\displaystyle{ \sim \exp(-a|x|) }[/math].
Обычно хвост(ы) распределения малозначим(ы) для нормировки, то есть при вычислении интеграла [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx }[/math] хвостовой вклад пренебрежим. Однако существование хвостов может оказаться весьма принципиальным при более сложных вычислениях, например выражений типа [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx }[/math], где [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — некая функция, нарастающая при увеличении [math]\displaystyle{ |x| }[/math]. Пример крайне высокой значимости хвостов даёт распределение популяции горячих электронов в твердотельных приборах: в таком случае роль [math]\displaystyle{ x }[/math] играет энергия электрона [math]\displaystyle{ E }[/math] ([math]\displaystyle{ E\gt 0 }[/math]). Величина плотности [math]\displaystyle{ f }[/math] на хвосте при высоких [math]\displaystyle{ E }[/math] мала, поскольку электронов с такими энергиями почти нет, но оказывается, что именно эти немногочисленные электроны ответственны за деградацию прибора.